ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМАХ ШЕННОНА
Ранее отмечалось, что при передаче сообщений по каналам связи могут возникать помехи, способные привести к искажению принимаемых знаков. Так, например, если вы попытаетесь в ветреную погоду передать речевое сообщению человеку, находящемуся от вас на значительном расстоянии, то оно может быть сильно искажено такой помехой, как ветер. Вообще, передача сообщений при наличии помех является серьезной теоретической и практической задачей. Ее значимость возрастает в связи с повсеместным внедрением компьютерных телекоммуникаций, в которых помехи неизбежны. При работе с кодированной информацией, искажаемой помехами, можно выделить следующие основные проблемы: установления самого факта того, что произошло искажение информации; выяснения того, в каком конкретно месте передаваемого текста это произошло; исправления ошибки, хотя бы с некоторой степенью достоверности.
Помехи в передачи информации - вполне обычное дело во всех сферах профессиональной деятельности и в быту. Один из примеров был приведен выше, другие примеры - разговор по телефону, в трубке которого «трещит», вождение автомобиля в тумане и т.д. Чаще всего человек вполне справляется с каждой из указанных выше задач, хотя и не всегда отдает себе отчет, как он это делает (т.е. неалгоритмически, а исходя из каких-то ассоциативных связей). Известно, что естественный язык обладает большой избыточностью (в европейских языках - до 7%), чем объясняется большая помехоустойчивость сообщений, составленных из знаков алфавитов таких языков. Примером, иллюстрирующим устойчивость русского языка к помехам, может служить предложение «в словох всо глосноо зомононо боквой о». Здесь 26% символов «поражены», однако это не приводит к потере смысла. Таким образом, в данном случае избыточность является полезным свойством.
Избыточность могла бы быть использована и при передаче кодированных сообщений в технических системах. Например, каждый фрагмент текста («предложение») передается трижды, и верным считается та пара фрагментов, которая полностью совпала.
Однако, большая избыточность приводит к большим временным затратам при передаче информации и требует большого объема памяти при ее хранении. Впервые теоретическое исследование эффективного кодирования предпринял К.Шеннон.
Первая теорема
Шеннона декларирует возможность создания системы эффективного кодирования дискретных сообщений, у которой среднее число двоичных символов на один символ сообщения асимптотически стремится к энтропии источника сообщений (в отсутствии помех).
Задача эффективного кодирования описывается триадой:
Х = {X 4i} - кодирующее устройство - В.
Здесь X, В -
соответственно входной и выходной алфавит. Под множеством хi можно понимать любые знаки (буквы, слова, предложения). В -
множество, число элементов которого в случае кодирования знаков числами определяется основанием системы счисления (например, т = 2). Кодирующее устройство сопоставляет каждому сообщению хi из Х кодовую комбинацию, составленную из пi символов множества В. Ограничением данной задачи является отсутствие помех. Требуется оценить минимальную среднюю длину кодовой комбинации.
Для решения данной задачи должна быть известна вероятность Рi
появления сообщения хi,
которому соответствует определенное количество символов пi алфавита В. Тогда математическое ожидание количества символов из В определится следующим образом:
n cр = пiРi (средняя величина).
Этому среднему числу символов алфавита В соответствует максимальная энтропия Нтаx = nср
log т. Для обеспечения передачи информации, содержащейся в сообщениях Х
кодовыми комбинациями из В,
должно выполняться условие H4mах ? Н(х), или пcр
log т ? - Рi log Рi.
В этом случае закодированное сообщение имеет избыточность пcр ? H(x) / log т, nmin = H(x) / log т.
Коэффициент избыточности
Кu = (Hmax – H(x)) / Hmax = (ncp – nmin) / ncp
Выпишем эти значения в виде табл. 1.8. Имеем:
Nmin = H(x) / log2
= 2,85, Ku = (2,92 - 2,85) / 2,92 = 0,024,
